ITK35Zone
Bạn có muốn phản ứng với tin nhắn này? Vui lòng đăng ký diễn đàn trong một vài cú nhấp chuột hoặc đăng nhập để tiếp tục.
ITK35Zone


 
Trang ChínhTrang Chính  Latest imagesLatest images  Đăng kýĐăng ký  Đăng Nhập  
Chào mừng các bạn đã đến với diễn đàn ITK35Zone - Lớp CNTT K35 Trường Đại học Sư phạm TP.HCM
Hiện diễn đàn đang bị lỗi kĩ thuật, mong mọi người thông cảm. BQT sẽ cố gắng khắc phục trong thời gian sớm nhất...

Share | 

 

 [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Go down 
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) EmptySat Mar 27, 2010 7:45 pm

blackrose4s
Userblackrose4s Người này hiện đang:
Level: Người Nhà
Danh vọng:312


Người Nhà

blackrose4s

Người Nhà

Giới tính : Nam
Đến từ : không gian
Join : 10/11/2009
Bài gửi : 312
HUMOR : không rõ ràng

Thú cưng
.:

Bài gửiTiêu đề: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

 
Bỏ qua lý thuyết nhé, chỗ chúng ta cần quan tâm nhất là
cách giải dạng này, bắt đầu ôn lại nhé các bạn:


1.Cách tính tích phân kép (hai lớp; bội hai) trong tọa độ
vuông góc:


1.1. Miền
đều:


a. Miền đều theo phương Oy:

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Fig26

Giả sử mỗi đường thẳng [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png
song song với trục Oy và đi qua điểm trong của miền D (
điểm
không nằm trên biên
), chỉ cắt biên L của miền D tại 2
điểm M, N
(theo hướng từ dưới lên).
M có tọa độ
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png và N có tọa độ [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png.

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Oy và M được gọi là điểm vào
miền D, N được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png
được gọi là đường vào, và đường cong
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png
được gọi là đường ra của miền D.

b. Miền đều theo phương
Ox:


Giả sử mỗi đường thẳng
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png
song song với trục Ox và đi qua điểm trong của miền D (
điểm
không nằm trên biên
), chỉ cắt biên L của miền D tại 2
điểm P, Q
(theo hướng từ trái sang).
P có tọa độ
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png và Q có tọa độ [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png.

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Ox và P được gọi là điểm vào
miền D, Q được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png
được gọi là đường vào, và đường cong
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png
được gọi là đường ra của miền D.

c.
Miền đều:
Miền đều theo phương Ox và Oy
được gọi là miền đều


d. Các ví dụ:

1. Hãy xét xem các miền
sau đây là miền đều theo phương nào?


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Showthread
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Fig25
Ta có:

Hình a : D là miền đều theo phương
Oy (dù đưởng thẳng x = ax = b cắt miền D tại vô số
điểm, nhưng là những điểm biên chứ không phải điểm trong) và có cùng
1đường vào, 1 đường ra nhưng không là miền đều theo phương Ox vì có 1
vùng mà những đưởng thẳng song song với trục Ox, đi qua điểm trong và
cắt biên tại 4 điểm.

Hình b: D là miền đều theo phương Oy
có đường vào
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png
và đường ra
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png.
Ngoài ra, D cũng là miền đều theo phương Ox nhưng có 2 đường vào và 1
đường ra x = b.

Hình c: D là miền đều theo phương
Oy, có cùng 1 đường vào, và 1đường ra. Bên cạnh đó, D là miền đều theo
phương Ox nhưng có tới 2 đường vào và 2 đường ra.

2. Các miền D được
xác định dưới đây là miền đều theo phương Ox. Bạn hãy xét xem nó có phải
là miền đều theo phương Oy không? Và nếu là miền đều, hãy xét xem nó có
mấy đường vào và mấy đường ra?


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Fig27

1.2. Cách tính (Định lý Fubini)
1. Nếu D xácđịnh bởi [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png , g liên
tục trên
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png thì:
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Showthread
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Showthread
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Fig25

2. Nếu D xácđịnh bởi [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png , h liên
tục trên
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png thì:
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Showthread
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Fig27
Nhận xét:

1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền
đều theo phương Oy trong khoảng
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png và có cùng 1 đường vào [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png và cùng 1 đường ra [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png. Khi đó, ta tính tích phân theo biến y
trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra
. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x
trong đoạn [a; b].

2. Miền đều theo phương Oy thì
đường vào, đường ra là hàm theo biến x.

3.
Ở trường hợp 2, ta có D là miền
đều theo phương Ox trong khoảng
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png và có cùng 1 đường vào [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png và cùng 1 đường ra [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png. Khi đó, ta tính tích phân theo biến x
trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra
. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y
trong đoạn [c; d].

4. Miền đều theo phương Ox thì
đường vào, đường ra là hàm theo biến y.

1.3
. Phương pháp tính:
1. Vẽ miền lấy tích phân D

2. Xét xem miền D có phải
là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy) không? Nếu miền lấy tích phân
không đều thì ta chia miền D thành những miền đều không có phần trong
chung.


3.
Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu mền D không có
cùng 1đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền nhỏ
sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1đường vào và 1 đường ra.


4. Áp dụng công thức Fubini và các tính chất tích
phân để tính tích phân hai lớp theo phương Oy (hoặc Ox).

[b]1.4. Một số ví dụ:[/b]

1. Xác định cận lấy tích phân
theo 2 phương Ox và Oy của:
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex, trong đó D là miền cung tròn nằm trong đoạn từ [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex đến 1 của nửa
dưới đường tròn (O; 2) được xác định như hình dưới đây:


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Vd-1


Giải:

Ta có miền D giới hạn bởi các đường: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex , [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex , [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex


Theo phương Oy ta có:
D là miền đều trong khoảng [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex và có
cùng đường vào [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex và cùng
đường ra [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex



Do đó ta có:
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex


Ngược lại, nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì theo
phương Ox ta có:

D là miền đếu theo phương Ox
trongđoạn [-2 ; 0]. Tuy nhiên, đường biên trái của D gồm 2 đoạn AB và
BC(-2) có phương trình khác nhau (không cùng đường vào) và đường bên
phải của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình khác nhau (kông
cùng đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không có cùng tung độ nên ta phải
chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE và C(-2)D bởi các đường thẳng song
song với trục Ox: (BE):
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png, (CD): [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png


Trong miền ABEF nằm giữa 2 đường thẳng y = -1y
= 0
, đường vào có phương trình [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex và đường
ra có phương trình: x = 1.



Trong miền BCDE nằm giữa 2 đường thẳng [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latexy =
-1
, đường vào có phương trình [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex và đường
ra có phương trình: x = 1.



Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn từ y = -2 đến [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex , đường
vào có phương trình [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex và đường
ra có phương trìnhh: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex



Vậy:
(Click vào để thấy rõ hơn nhé)


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Showthread
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Png

Ví dụ 2. Tính [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex , D là
miền giới hạn bởi các đường: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex


Giải


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Vd-2

Tọa độ giao điểm của 2 đướng [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) LatexA(2;-2)
C(8;4) và miền D được xác định như hình bên.

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng 1 đường vào
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex và cùng 1
đưởng ra là x = y+4.



Do đó:
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex
Vậy
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex
= [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex
= [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex


Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là y = x
– 4 và [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex và có
chung 1 đường ra là [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex.



Do đó, ta chia miền D thành 2 miền D1, D2 bởi đoạn AB để
trên mỗi miền có chung 1 đường vào và 1 đường ra.



Do đó, theo phương Oy ta có:


[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex


Vậy ta có:
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Showthread
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex



Tính toán tương tự như trên, ta có kết
quả.



Nhận xét:

1. Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy
cận của tích phân theo biến y có tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta có
miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, nếu hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y
thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ
bằng 2 lần tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0)
.

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua
Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex
(với D1 là phần của D ứng với y
> 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và
f(x;y) = -f(x;-y) thì
:[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex



2.
Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex
(với D’ là phần của D ứng với x
> 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và
f(x;y) = -f(-x;y) thì
: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex



3.
Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) =
f(-x;-y) thì:

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex
(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

4.
Giả sử
[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex.php?latex=f%28x%3By%29+%3D+h%28x%29 thì:

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex.php?latex=%7B%5Cint%7B%5Cint_D+f%28x%3By%29+%5C%2C+dxdy%7D%7D+%3D+%7B%5Cint_a%5Eb+h%28x%29+%5C%2C+dx%7D
(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích
phân đơn)


5. Kết
quả quan trọng:

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex = [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) Latex.php?latex=%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+%7B+%5Cdfrac%7B%282k-1%29%21%21%7D%7B%282k%29%21%21%7D%7D.%7B+%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D+%26+%28n+%3D+2k%29+%5C%5C+%7B+%5Cdfrac%7B%282k%29%21%21%7D%7B%282k%2B1%29%21%21%7D%7D+%26+%28n+%3D+2k%2B1%29+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright



[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép) EmptySat Mar 27, 2010 8:25 pm

hecator
Userhecator Người này hiện đang:
Level: Thành Viên Danh Dự
Danh vọng:513


Thành Viên Danh Dự

hecator

Thành Viên Danh Dự

Giới tính : Nam
Join : 07/11/2009
Bài gửi : 513

Thú cưng
.:

Bài gửiTiêu đề: Re: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

 
Cam ơn bạn đã đóng góp cho forum , cả code share C++ nữa .Hi vọng tiếp tục cố gắng phát huy


 

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Về Đầu Trang 
Trang 1 trong tổng số 1 trang

Permissions in this forum:Bạn không có quyền trả lời bài viết
ITK35Zone :: Học tập :: Lưu trữ (năm 1) :: Download tài tiệu học tập-
 
Create a forum on Forumotion | ©phpBB | Free forum support | Báo cáo lạm dụng | Thảo luận mới nhất