:: Quên mật khẩu ::
Share | 

 

 [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Go down 
Sat Mar 27, 2010 7:45 pm

Userblackrose4s Người này hiện đang:
Level: Người Nhà
Danh vọng:312


Người Nhà

blackrose4s

Người Nhà

Giới tính: Nam
Đến từ: không gian
Join: 10/11/2009
Bài gửi: 312
HUMOR: không rõ ràng

Thú cưng
.:

Bài gửiTiêu đề: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

 
Bỏ qua lý thuyết nhé, chỗ chúng ta cần quan tâm nhất là
cách giải dạng này, bắt đầu ôn lại nhé các bạn:


1.Cách tính tích phân kép (hai lớp; bội hai) trong tọa độ
vuông góc:


1.1. Miền
đều:


a. Miền đều theo phương Oy:




Giả sử mỗi đường thẳng
song song với trục Oy và đi qua điểm trong của miền D (
điểm
không nằm trên biên
), chỉ cắt biên L của miền D tại 2
điểm M, N
(theo hướng từ dưới lên).
M có tọa độ
và N có tọa độ .

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Oy và M được gọi là điểm vào
miền D, N được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong

được gọi là đường vào, và đường cong

được gọi là đường ra của miền D.

b. Miền đều theo phương
Ox:


Giả sử mỗi đường thẳng

song song với trục Ox và đi qua điểm trong của miền D (
điểm
không nằm trên biên
), chỉ cắt biên L của miền D tại 2
điểm P, Q
(theo hướng từ trái sang).
P có tọa độ
và Q có tọa độ .

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Ox và P được gọi là điểm vào
miền D, Q được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong

được gọi là đường vào, và đường cong

được gọi là đường ra của miền D.

c.
Miền đều:
Miền đều theo phương Ox và Oy
được gọi là miền đều


d. Các ví dụ:

1. Hãy xét xem các miền
sau đây là miền đều theo phương nào?





Ta có:

Hình a : D là miền đều theo phương
Oy (dù đưởng thẳng x = ax = b cắt miền D tại vô số
điểm, nhưng là những điểm biên chứ không phải điểm trong) và có cùng
1đường vào, 1 đường ra nhưng không là miền đều theo phương Ox vì có 1
vùng mà những đưởng thẳng song song với trục Ox, đi qua điểm trong và
cắt biên tại 4 điểm.

Hình b: D là miền đều theo phương Oy
có đường vào

và đường ra
.
Ngoài ra, D cũng là miền đều theo phương Ox nhưng có 2 đường vào và 1
đường ra x = b.

Hình c: D là miền đều theo phương
Oy, có cùng 1 đường vào, và 1đường ra. Bên cạnh đó, D là miền đều theo
phương Ox nhưng có tới 2 đường vào và 2 đường ra.

2. Các miền D được
xác định dưới đây là miền đều theo phương Ox. Bạn hãy xét xem nó có phải
là miền đều theo phương Oy không? Và nếu là miền đều, hãy xét xem nó có
mấy đường vào và mấy đường ra?





1.2. Cách tính (Định lý Fubini)
1. Nếu D xácđịnh bởi , g liên
tục trên
thì:








2. Nếu D xácđịnh bởi , h liên
tục trên
thì:






Nhận xét:

1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền
đều theo phương Oy trong khoảng
và có cùng 1 đường vào và cùng 1 đường ra . Khi đó, ta tính tích phân theo biến y
trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra
. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x
trong đoạn [a; b].

2. Miền đều theo phương Oy thì
đường vào, đường ra là hàm theo biến x.

3.
Ở trường hợp 2, ta có D là miền
đều theo phương Ox trong khoảng
và có cùng 1 đường vào và cùng 1 đường ra . Khi đó, ta tính tích phân theo biến x
trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra
. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y
trong đoạn [c; d].

4. Miền đều theo phương Ox thì
đường vào, đường ra là hàm theo biến y.

1.3
. Phương pháp tính:
1. Vẽ miền lấy tích phân D

2. Xét xem miền D có phải
là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy) không? Nếu miền lấy tích phân
không đều thì ta chia miền D thành những miền đều không có phần trong
chung.


3.
Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu mền D không có
cùng 1đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền nhỏ
sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1đường vào và 1 đường ra.


4. Áp dụng công thức Fubini và các tính chất tích
phân để tính tích phân hai lớp theo phương Oy (hoặc Ox).

[b][b]1.4. Một số ví dụ:[/b][/b]

1. Xác định cận lấy tích phân
theo 2 phương Ox và Oy của:
, trong đó D là miền cung tròn nằm trong đoạn từ đến 1 của nửa
dưới đường tròn (O; 2) được xác định như hình dưới đây:





Giải:

Ta có miền D giới hạn bởi các đường: , ,


Theo phương Oy ta có:
D là miền đều trong khoảng và có
cùng đường vào và cùng
đường ra



Do đó ta có:



Ngược lại, nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì theo
phương Ox ta có:

D là miền đếu theo phương Ox
trongđoạn [-2 ; 0]. Tuy nhiên, đường biên trái của D gồm 2 đoạn AB và
BC(-2) có phương trình khác nhau (không cùng đường vào) và đường bên
phải của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình khác nhau (kông
cùng đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không có cùng tung độ nên ta phải
chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE và C(-2)D bởi các đường thẳng song
song với trục Ox: (BE):
, (CD):


Trong miền ABEF nằm giữa 2 đường thẳng y = -1y
= 0
, đường vào có phương trình và đường
ra có phương trình: x = 1.



Trong miền BCDE nằm giữa 2 đường thẳng y =
-1
, đường vào có phương trình và đường
ra có phương trình: x = 1.



Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn từ y = -2 đến , đường
vào có phương trình và đường
ra có phương trìnhh:



Vậy:
(Click vào để thấy rõ hơn nhé)





Ví dụ 2. Tính , D là
miền giới hạn bởi các đường:


Giải




Tọa độ giao điểm của 2 đướng A(2;-2)
C(8;4) và miền D được xác định như hình bên.

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng 1 đường vào
và cùng 1
đưởng ra là x = y+4.



Do đó:

Vậy

=
=


Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là y = x
– 4 và và có
chung 1 đường ra là .



Do đó, ta chia miền D thành 2 miền D1, D2 bởi đoạn AB để
trên mỗi miền có chung 1 đường vào và 1 đường ra.



Do đó, theo phương Oy ta có:






Vậy ta có:




Tính toán tương tự như trên, ta có kết
quả.



Nhận xét:

1. Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy
cận của tích phân theo biến y có tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta có
miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, nếu hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y
thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ
bằng 2 lần tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0)
.

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua
Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:


(với D1 là phần của D ứng với y
> 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và
f(x;y) = -f(x;-y) thì
:



[b]2.
Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:[/b]


(với D’ là phần của D ứng với x
> 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và
f(x;y) = -f(-x;y) thì
:



[b]3.
Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) =
f(-x;-y) thì:
[/b]


(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

[b]4.
Giả sử[/b]
thì:


(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích
phân đơn)


[b]5. Kết
quả quan trọng:
[/b]

=





Sat Mar 27, 2010 8:25 pm

Userhecator Người này hiện đang:
Level: Thành Viên Danh Dự
Danh vọng:513


Thành Viên Danh Dự

hecator

Thành Viên Danh Dự

Giới tính: Nam
Join: 07/11/2009
Bài gửi: 513

Thú cưng
.:

Bài gửiTiêu đề: Re: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

 
Cam ơn bạn đã đóng góp cho forum , cả code share C++ nữa .Hi vọng tiếp tục cố gắng phát huy


 

[Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Về Đầu Trang 
Trang 1 trong tổng số 1 trang

Permissions in this forum:Bạn không có quyền trả lời bài viết
ITK35Zone :: Học tập :: Lưu trữ (năm 1) :: Download tài tiệu học tập-
 
Free forum | © phpBB | Free forum support | Liên hệ | Report an abuse | Create your own blog